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初中三角函数和差公式

2022-04-06 15:25:01 数学

  很多同学觉得三角函数会很难,而和差公式是常用的三角函数公式,下面总结了三角函数和差公式,供大家参考。

积化和差公式

  sinα·cosβ=1/2[sinαβsinα-β]

  cosα·sinβ=1/2[sinαβ-sinα-β]

  cosα·cosβ=1/2[cosαβcosα-β]

  sinα·sinβ=-1/2[cosαβ-cosα-β]

  sinαsinβ=2sin[αβ/2]cos[α-β/2]

  sinα-sinβ=2cos[αβ/2]sin[α-β/2]

  cosαcosβ=2cos[αβ/2]cos[α-β/2]

和差化积公式

  sinα+sinβ=2sin[α+β/2]cos[α-β/2]

  sinα-sinβ=2cos[α+β/2]sin[α-β/2]

  cosα+cosβ=2cos[α+β/2]cos[α-β/2]

  cosα-cosβ=-2sin[α+β/2]sin[α-β/2]

和差化积公式推导过程

  首先,我们知道sina+b=sina*cosb+cosa*sinb,sina-b=sina*cosb-cosa*sinb

  我们把两式相加就得到sina+b+sina-b=2sina*cosb

  所以,sina*cosb=sina+b+sina-b/2

  同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=sina+b-sina-b/2

  同样的,我们还知道cosa+b=cosa*cosb-sina*sinb,cosa-b=cosa*cosb+sina*sinb

  所以,把两式相加,我们就可以得到cosa+b+cosa-b=2cosa*cosb

  所以我们就得到,cosa*cosb=cosa+b+cosa-b/2

  同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-cosa+b-cosa-b/2

  这样,我们就得到了积化和差的四个公式:

  sina*cosb=sina+b+sina-b/2

  cosa*sinb=sina+b-sina-b/2

  cosa*cosb=cosa+b+cosa-b/2

  sina*sinb=-cosa+b-cosa-b/2

  好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.

  我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=x+y/2,b=x-y/2

  把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:

  sinx+siny=2sinx+y/2*cosx-y/2

  sinx-siny=2cosx+y/2*sinx-y/2

  cosx+cosy=2cosx+y/2*cosx-y/2

  cosx-cosy=-2sinx+y/2*sinx-y/2

两角和与差的三角函数公式

  sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ

  sinα-β=sinαcosβ-cosαsinβ

  cosα+β=cosαcosβ-sinαsinβ

  cosα-β=cosαcosβ+sinαsinβ

  tanα+β=tanα+tanβ/1-tanα·tanβ

  tanα-β=tanα-tanβ/1+tanα·tanβ

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