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cantor定理

2023-03-14 06:00:01 数学

  cantor定理:若函数fx在闭区间[a,b]上连续,则它在[a,b]上一致连续。换言之,在闭区间上连续的函数在该闭区间一致连续。

cantor定理是什么

  历史上比较著名的康托Cantor定理,大致有下列三个:

  康托定理1:闭区间上的连续实函数是一致连续的。

  康托定理2:一个集合本身的势严格小于其幂集的势。

  康托定理3:如果一个全序集是可列集,且是稠密的,无最大和最小值的,则它一定和有理数集序同构。

cantor定理拓展

  cantor定理指的是在集合论中,任何集合A的幂集PA的势严格大于A的势.cantor定理对于有限集合成立,对于无限集合也同样成立.

  下面给出由集合论的创始人康托尔于1891年所做的康托尔定理的证明:

  设 f 是从 A 到 A 的幂集PA的任何函数.必须证明这个f必定不是满射的.要如此,展示一个A的子集不在f的像中就足够了.这个子集是:

  B=x ∈A : x /∈ fx注:符号:/∈代表的是不属于

  要证明 B 不在 f 的像中,假设 B 在 f 的像中. 那么对于某个 y ∈ A,我们有 fy = B.现在考虑 y ∈ B 还是 y /∈B?如果 y ∈ B,则 y ∈ fy,但是通过 B 的定义,这蕴涵了y /∈B.在另一方面,如果 y /∈B,则 y /∈fy 并因此 y∈B.任何方式下都是矛盾.因为 x 在表达式 "x /∈fx" 中重复出现,这是对角论证法.

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