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反函数的二阶导数

2023-03-28 00:39:01 数学

  反函数二阶导数公式是y''=-y'*d²x/dy²。二阶导数,是原函数导数的导数,将原函数进行二次求导。一般的,函数y=f(x)的导数y'=f'(x)仍然是x的函数,则y''=f''(x)的导数叫做函数y=f(x)的二阶导数。

什么是反函数

  反函数是对一个定函数做逆运算的函数。一般来说,设函数y=fxx∈A的值域是C,若找得到一个函数gy在每一处gy都等于x,这样的函数x= gyy∈C叫做函数y=fxx∈A的反函数,记作y=f^-1x,

  反函数x=f^-1y的定义域、值域分别是函数y=fx的值域、定义域。最具代表性的反函数是对数函数与指数函数。

  反函数存在定理:严格单调函数必定有严格单调的反函数,并且二者单调性相同。

  证明:设f在D上严格单增,对任一y∈fD,有x∈D使fx=y。而由于f的严格单增性,对D中任一x'<x,都有y'x,都有y''>y。总之能使fx=y的x只有一个,根据反函数的定义,f存在反函数f-1。

  任取fD中的两点y1和y2,设y1<y2。而因为f存在反函数f-1,所以有x1=f-1y1,x2=f-1y2,且x1、x2∈D。

  若此时x1≥x2,根据f的严格单增性,有y1≥y2,这和我们假设的y1<y2矛盾。因此x1<x2,即当y1<y2时,有f-1y1<f-1y2。这就证明了反函数f-1也是严格单增的。

反函数和原函数之间的关系

  1、反函数的定义域是原函数的值域,反函数的值域是原函数的定义域。

  2、互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称。

  3、原函数若是奇函数,则其反函数为奇函数。

  4、若函数是单调函数,则一定有反函数,且反函数的单调性与原函数的一致。

  5、原函数与反函数的图像若有交点,则交点一定在直线y=x上或关于直线y=x对称出现。

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