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n阶矩阵一定有n个特征值吗?

2023-05-09 11:36:02 数学

  n阶矩阵有n个特征值(包括相同的特征值)。三阶矩阵就一定有3个特征值,因为求特征值的时候,是算|xE-A|=0的根,|xE-A|是个3次多项式,必定有3个根。矩阵的秩就是非零特征值的个数。现在rA=1,就是说,3个根中只有1个非零根,那剩下两个必定是0,是这样看出来的。

n阶矩阵至少有n个特征值吗

  是的,n阶矩阵一定有n个特征值。因为特征值是特征多项式的根,n阶方阵的特征多项式是个n次多项式,根据代数基本定理,n次多项式有且只有n个根重根按重数计算,这些根可能是实数,也可能是复数。

  更加详细的说法为:一个n阶矩阵一定有n个特征值(包括重根),也可能是复根。一个n阶实对称矩阵一定有n个实特征值(包括重根)。每一个特征值至少有一个特征向量(不止一个)。不同特征值对应特征向量线性无关。

n阶矩阵相关信息

  设A是数域P上的一个n阶矩阵,λ是一个未知量。

  称为A的特征多项式,记¦λ=|λE-A|,是一个P上的关于λ的n次多项式,E是单位矩阵。

  ¦λ=|λE-A|=λ+a1λ+…+an= 0是一个n次代数方程,称为A的特征方程。特征方程¦λ=|λE-A|=0的根如:λ0称为A的特征根或特征值。n次代数方程在复数域内有且仅有n个根,而在实数域内不一定有根,因此特征根的多少和有无,不仅与A有关,与数域P也有关。

  性质1:若λ是可逆阵A的一个特征根,x为对应的特征向量,则1/λ 是A的逆的一个特征根,x仍为对应的特征向量。

  性质2:若 λ是方阵A的一个特征根,x为对应的特征向量,则λ 的m次方是A的m次方的一个特征根,x仍为对应的特征向量。

  性质3:设λ1,λ2,…,λm是方阵A的互不相同的特征值。xj是属于λi的特征向量 i=1,2,…,m,则x1,x2,…,xm线性无关,即不相同特征值的特征向量线性无关。

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